历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答(15)

【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂

直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。

4

水的折射率为n 。如图5.4（a），5.4（b）

3

解：鱼在1秒钟内

游过的距离为v。 图5.4（a） 我们把这个距离

当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度

的正弦用角度本身 图5.4（b） 去近似。

在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图5.4（a）所示。从T1点以角度r＝∠A T1O发出的光线，在A点水中的入射角为r，在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在K1，显然∠K1A T1＝n r－r＝（n－1）r

从三角形K1 T1 A，有：

K1T1(n 1)r

n 1 K1Ar

利用通常的近似：K1A≈K1O＋R， K1AT1≈K1O－R 于是

K1O R

n 1

K1O R

所以这个虚像与球心的距离为K1O 水的折射率n 得到放大率为

n

R 2 n

4

，从而K1O＝2R。若折射率大于2，则像是实像。有像距与物距之商3

K1On

T1O2 n

对水来说，放大率为2。

以与速度v相应的线段为物，它位于在E处的平面镜前的距离为2R处，它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下，我们假设T2O＝kR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4（b）所示。

我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角β，其中r＝∠CT2F。 在三角形T2OC中，

r

T2OkR

k β＝k r COR

玻璃中的折射角为：

n

kr

DCO CDO n

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