2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(15)

七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为 ，高为h. 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随x而变化，n(x) 1 bx，其中常数

b 0. 一束波长为 的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸

透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于

y=0处；物和像之间各光线的光程相等.

1. 求其余各狭缝的y坐标；

2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.

x

图(a) 图(b) 参考解答：

1. 考虑射到劈尖上某y值处的光线，计算该光线由x 0到x h之间的光程 y . 将该光线在介质中的光程记为 1，在空气中的光程记为 2. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在

x 0 处，该处介质的折射率n 0 1；射到x处时，该处介质的折射率n x 1 bx. 因折射率随x线性增加，光线从x 0处射到x h1（h1是劈尖上y值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程 1与光通过折射率等于平均折射率

111

n0 nh 1 1 bh 1 bh1 (1) 1 1

2 22

的均匀介质的光程相同，即

1

1 1 h1 bh12 (2)

2

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