2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(3)

二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为 m（ 为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处.

1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件.

参考解答：

1. 由于碰撞时间 t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为vA、vC、vD，显然有

vD

2lvCr.

(1)

以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒

mvD2l mvCr mvA2l mv02l.

(2)

由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间 t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故

由 (1)、(2)、(3) 式解得

4lr8l2r2

vC 22v0,vD 22v0,vA 22v0 (4)

8l r8l r8l r

12121212

mvD mvC mvA mv0. 2222

(3)

[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点

同样可解出(4). ]

设碰撞过程中D对A的作用力为F1 ，对A用动量定理有

v0 vD vA.

(3’)

4l2 r2

F1 t mvA mv0 222mv0,

8l r

(5)

方向与v0方向相反. 于是，A对D的作用力为F1的冲量为

4l2 r2

F1 t 222mv0 (6)

8l r

方向与v0方向相同.

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