2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(6)

三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令

m

表示细杆质量线密度. 当杆以角速度 绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动L

时，其转动动能可表示为

Ek k L

式中，k为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出 、 和 的值.

2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.

3. 试求当杆摆至与水平方向成 角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g.

提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为

dY(X(t))dYdX

dtdXdt

例如，函数cos (t)对自变量t的导数为

dcos (t)dcos d dtd dt

参考解答：

1. 当杆以角速度 绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量 、 和

L的函数，按题意 可表示为

Ek k L (1)

式中，k为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[L]、[M]和[T]（它们可视为相互独立的基本单位），则 、 、L和Ek的单位分别为

[ ] [M][L] 1,

[ ] [T] 1,[L] [L],

[Ek] [M][L]2[T] 2

(2)

在一般情形下，若[q]表示物理量q的单位，则物理量q可写为

q (q)[q] (3) 式中，(q)表示物理量q在取单位[q]时的数值. 这样，(1) 式可写为

(Ek)[Ek] k( ) ( ) (L) [ ] [ ] [L] (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即

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