2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(7)

(Ek) k( ) ( ) (L) (5) [Ek] [ ] [ ] [L] (6) 将 (2)中第四 式代入 (6) 式得

[M][L]2[T] 2 [M] [L] [T] (7)

(2)式并未规定基本单位[L]、[M]和[T]的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[L]、[M]和[T]均成立，于是

1, 2, 3 (8) 所以

Ek k 2L3 (9) 2. 由题意，杆的动能为

Ek Ek,c Ek,r (10) 其中，

Ek,c

121L mvc ( L) (11) 22 2

2

注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为

L

的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅2

直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能Ek,r为 Ek,r将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得 由此解得 于是

Ek=

1

k (14)

61 L L

k L L 2k 2 (13)

2 2 2

23

2

3

L L

2Ek( , ,) 2k 2 (12)

2 2

3

1

lw2L3. (15) 6

3. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒

L Ek mg sin (16) 2

由(15)、(16)式得

w=

以在杆上距O点为r处的横截面外侧长为 L r 的那一段为研究对象，该段质量为 L r ，其质心速度为

L r L r

vc. (18) r

22

设另一段对该段的切向力为T(以 增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为

N(以指向O点方向为正向)，由质心运动定理得

T L r gcos L r at (19) N L r gsin L r an (20)

式中，at为质心的切向加速度的大小

at

L rd L rd d 3 L r gcos dvc

(21)

dt2dt2d dt4L

而an为质心的法向加速度的大小

an 2

L r3 L r gsin

. (22)

22L

由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

评分标准：本题25分.

第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；

第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；

第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.

T N

L r 3r L

4L22L2

mgcos (23)

mgsin (24)

L r 5L 3r

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