长沙理工大学高数下册练习册答案(17)

z u v z u v f1 f2 2xf1 yf2 , f1 f2 2yf1 xf2 , x x x y y y

2z

2x f12 y) y(f21 ` 2x f22 y) 2 2f1 2x(f11

x

2xyf12 2xyf21 y2f22 2f1 4x2f11

2z

( 2y) f12 x] x[f21 ` ( 2y) f22 x), 2 2f1 2y[f11

y

2xyf12 2xyf21 xf22 . 2f1 4yf11

(B)

1.(1)2xyf()；(2)4dx 2dy. 2.解:由一阶全微分形式不变性,得

22

y

x

f f1 f fd(xy) d[(x2 y2)] (ydx xdy) (xdx ydy) u v2 u v f f f f x)dx (x y)dy. (y u v u v

dg 于是

g f f g f f y x, x y,故 x u v y u v

22222

g f f f f f f f f y() x() y(y x) x(y x) x2 x u x v v u2 u v v u v2 v2

2f 2f f2 f 2xy x y， 22 u u v v v

2

2g f f f 2f 2f 2f 2f f

2 x() y() x(x2 y) y(x y2) y y u y v v u u v v u v v

2

2f 2f f2 f 2xy y x， 22 u u v v v

2

22 2g 2g22 f22 f 所以 2 2 (y x) (x y)2 x2 y2. 2 x y u v

6.证:(1)因为

u u x u y1 u u

,

s x s y s2 x2 y

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