线性代数习题与答案第六章(东大绝版)(8)

这次在百度上终于能搜到东大的线代了 不要忘记你的学长啊!!!

E A

00a0

10 1

00 1a3

4

0a1

0

a1

10 1

a0

a2

a2

3

a3

2

32

a3 a2 a1 a0 a3 a2 a1 a0;

1 0

(2)因为A

2

0 3 0 0 0

0 a0

100 a1

010 a2

0 1 0 0

2

1 0

a3 03

0

2

0

3

23 a0 a1 0 a2 0 a3 0

0 2 0 3 0 4 0 1

0 23T

(1, , , )是属于 0的特征向量. ,所以 0000 2

0

3

0

5.设A2 E,证明A的特征值只能是1或-1.

证 设 为A的特征值,ξ是属于 的特征向量,则A ξ,左乘A得

A Aξ ( ξ) ξ.

2

2

因为A2 E,所以ξ 2ξ.即 1 2 ξ 0,但ξ 0,所以1 2 0,从而 1或 1. 6.设A是n(n 1)阶非零矩阵,且有正整数k使A 0,证明A不能与对角矩阵相似. 证 用反证法.设n阶非零矩阵A与对角矩阵Λ相似,因为A 0,所以对A ξ式左乘

k 1次A,得 kξ 0,又因ξ 0,故 k 0,即 0,可见与A相似的对角矩阵Λ为零矩阵,

k

k

由QAQ 0得A Q0Q

1 1

0,与A为非零矩阵矛盾.

7.设A为n阶矩阵,证明A和AT有相同的特征值. 证 因为 E A

T

E A E A E A

T

T

T

TT

E ,可见A和AT有

相同的特征多项式,所以有相同的特征值.

8.设 1, 2是A的两个不等的特征值, ξ1,ξ2分别是属于 1, 2的特征向量,证明ξ1 ξ2不是

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