线性代数习题与答案第六章(东大绝版)(10)

这次在百度上终于能搜到东大的线代了 不要忘记你的学长啊!!!

ξ1 ξ2是A的特征向量, 0为对应的特征值,则有

A ξ1 ξ

2

0 ξ

1

ξ

2 ξ

01

ξ, 0

2

于是 1ξ1 2ξ2 0ξ1 0ξ2,即 1 0 ξ1 2 0 ξ2 0,因为ξ1,ξ2属于不同的特征值,所以它们线性无关.由上式得 1 0 0, 2 0 0, 1 2与题设矛盾,所以ξ1 ξ2不是A的特征向量. 9.设A与B相似,证明

(1)detA detB; (2)AT与BT相似; (3) A是可逆矩阵的充要条件是B为可逆矩阵,且A 1与B 1相似.

证 (1)因为A B,所以 E A E B,令 0,则 A B,即( 1)A ( 1)B,所以A B.

(2)因为AT与BT相似,所以A P 1BP,转置得AT P 1BP PTB

Q P

T

T

T

nn

P

T

1

,记

1

T

,则P Q ,于是有A QBQ,即AT与BT相似;

1

TTT

(3)必要性:设A可逆,则A 0,由B P 1AP得B P 1AP A 0,所以B可逆. 充分性:设B可逆则B 0,由B P 1AP得P 1AP B 0,即A 0所以A可逆. 另外,对B P 1AP两边取逆矩阵,得B

1

1

1

PAP

1

1

PA

1 1

P

1

1

PAP,可见

1 1

B A.

10.设A,B都是n阶矩阵,且detA 0,证明AB与BA相似.

证 因为A 0,所以A可逆,于是由A 1 AB A A 1A BA BA知AB BA.

A

11.设A与B相似,C与D相似,证明

0

0 B 与 C 0

0

相似. D

证 设A P 1BP,C QDQ,则 A 0

0 P 1BP C 0

0 B 与 C 0

1

P 1 1

QDQ 00

0

相似. D

0 B 1 Q 00 P D 00 , Q

A所以

0

12.证明:n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它不以0为其特征值.

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