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解 由题设有E A 0,2E A 0,E A E A ( 1) E A 0,可见,
3
A的特征值分别为1,2,-1。所以A 1 2 ( 1) 2。
2.试构造一个3阶实对称矩阵A,使其特征值为 1 2 1, 3 1,且有特征向量
ξ1 1,1,1 ,ξ2 2,2,1 。
T
T
解 显然,ξ1,ξ2线形无关,所以它们是属于特征值 1的特征向量(否则它们应正交)。
x1 x2 x3 0T
设属于特征值 1的特征向量为ξ3 x1,x2,x3 ,则应当有 ,
2x1 2x2 x3 0
由此解得ξ3 k,k,0 ,(k 0),不妨取ξ3 1,1,0 。则由ξ1,ξ2,ξ3作为下列向
T
T
1
量构成矩阵P 1
1 1 A P
1 A 1
1 01 22 0
200221
1 P 1 1 1 1 0 0 00 0 0 1
2 0
040
010100
221
1 1
1
1 ,使得PAP
0
1
1
,所以
1,又因为P
1
1
1 12 1
221
111
4 2 0
,所以
0 1
1 0 1
2 1 10 0 。 1
111
4 1
1 2 1
2 0 11 1
1 1
0 1
11
4
2 0
=
1
3.设矩阵A 1
3 3
x 与对角矩阵相似,求x。 1
解 A的特征多项式
1
E A
13
03
x ( 4)
40
13
3
1
1
( 4)( 2)。
2
A的特征值 1 2 4, 3 2。因为A与对角矩阵相似,所以对于2重特征值 4
应有两个线形无关的特征向量,而这时,
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