线性代数习题与答案第六章(东大绝版)(15)

这次在百度上终于能搜到东大的线代了 不要忘记你的学长啊!!!

解 由题设有E A 0,2E A 0,E A E A ( 1) E A 0，可见，

3

A的特征值分别为1，2，-1。所以A 1 2 ( 1) 2。

2．试构造一个3阶实对称矩阵A，使其特征值为 1 2 1, 3 1，且有特征向量

ξ1 1,1,1 ,ξ2 2,2,1 。

T

T

解 显然，ξ1,ξ2线形无关，所以它们是属于特征值 1的特征向量（否则它们应正交）。

x1 x2 x3 0T

设属于特征值 1的特征向量为ξ3 x1,x2,x3 ，则应当有 ，

2x1 2x2 x3 0

由此解得ξ3 k,k,0 ,(k 0)，不妨取ξ3 1,1,0 。则由ξ1,ξ2,ξ3作为下列向

T

T

1

量构成矩阵P 1

1 1 A P

1 A 1

1 01 22 0

200221

1 P 1 1 1 1 0 0 00 0 0 1

2 0

040

010100

221

1 1

1

1 ，使得PAP

0

1

1

，所以

1，又因为P

1

1

1 12 1

221

111

4 2 0

，所以

0 1

1 0 1

2 1 10 0 。 1

111

4 1

1 2 1

2 0 11 1

1 1

0 1

11

4

2 0

=

1

3．设矩阵A 1

3 3

x 与对角矩阵相似，求x。 1

解 A的特征多项式

1

E A

13

03

x ( 4)

40

13

3

1

1

( 4)( 2)。

2

A的特征值 1 2 4, 3 2。因为A与对角矩阵相似，所以对于2重特征值 4

应有两个线形无关的特征向量，而这时，

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