现代数字信号处理6章(new1)(9)

通信专业基础知识

§6.3 Inversion of CWT（连续小波变换的反演）（逆变换）

通信专业基础知识

为了由连续小波变换重建原信号，需要定的逆变换公式。

从正变换：(C,WT f)(a,b) f, a,b 可看成是一种从L2(R)空间到L2(R2)空间的映射：

M:f(t) f, a,b

可以证明，它是一种等距映射，即任何信号f(t) L2(R)映射前后其总能量不变，差别仅在于一个常数因子C

C f,f

其中：C

| f, a,b |2

dadb 2a

①

( )|2|

d

| |

——即母小波应满足的条件！

对更一般的情况，任何两个信号f(t),g(t) L2(R) 则有：

C (f,g)

f, a,b g, a,b

dadb a2

②

①和②式称为小波 a,b(t)的“恒等分辨”性质。实质上，它是内积不变or保内积性质。 在Hilbert空间L(R)中，保内积等价于保范数 ∴ ①式用范数符号可写为：

2

C ||f||2

这里|| ||表示范数

|| f, a,b ||2

dadb 2a

所以，可以把连续小波变换的模的平方看成信号能量在时间—尺度平面上的分布密度。 ②式隐含着：

~(t)dadb f, a,ba,b

a2

1 ~(t)dadb 成立！ or f(t) C (CWT f)(a,b) a,b

a2

f(t) C

1

这就是连续小波变换的逆变换公式。

逆变换的存在，说明连续小波变换是完备的，它保留了信号的全部信息。因此，能够用它完全刻画信号的特征，并用一种数值稳定的方法，由它重建原信号。

~(t)— dual of (t) 对偶 Note：

~(t)与(t) 成对偶关系 a,ba,b

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