ch 8空间解析几何与向量代数(12)

当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 的夹角称为向量a与b的夹角 记作(a,^ b)或(b,^ a) 如果向量a与b中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与 之间任意取值

类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角

非零向量r与三条坐标轴的夹角 、 、 称为向量r的方向角

向量的方向余弦

设r (x y z) 则

x |r|cos y |r|cos z |r|cos

cos 、cos 、cos 称为向量r的方向余弦

y co s x cos cos z |r| |r||r|

从而 (co s, co s, co s) 1r er |r|

上式表明 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r 因此

cos2 cos2 cos2 1

例3 设已知两点A (2, 2, ))和B (1, 3, 0) 计算向量AB的模、方向余弦和方向角

解 AB (1 2, 3 2, 0 ) ( 1, 1, )

|AB| ( 1)2 12 ( )2 2

s 1 cos 1 cos 2 2 3 co 2 22334

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