ch 8空间解析几何与向量代数(14)

§7 2 数量积 向量积

一、两向量的数量积

数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移M1M2 由物理学知道 力F所作的功为

W |F| |s| cos

其中 为F与s的夹角

数量积 对于两个向量a和b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即

a·b |a| |b| cos

数量积与投影

由于|b| cos |b|cos(a ^ b) 当a 0时 |b| cos(a ^ b) 是向量

b在向量a的方向上的投影 于是a·b |a| Prj ab

同理 当b 0时 a·b |b| Prj ba

数量积的性质

(1) a·a |a| 2

(2) 对于两个非零向量 a、b 如果 a·b 0 则 a b;

反之 如果a b 则a·b 0

如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a·b 0

数量积的运算律

(1)交换律 a·b b·a;

(2)分配律 (a b) c a c b c

(3) ( a)·b a·( b) (a·b)

( a)·( b) (a·b) 、 为数

(2)的证明

分配律(a b) c a c b c的证明

因为当c 0时 上式显然成立

当c 0时 有

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