ch 8空间解析几何与向量代数(15)

(a b) c |c|Prjc(a b)

|c|(Prjca Prjcb)

|c|Prjca |c|Prjcb

a c b c

例1 试用向量证明三角形的余弦定理

证 设在ΔABC中 ∠BCA (图7 24) BC| a CA| b |AB| c

要证

c 2 a 2 b 2 2 a b cos

记CB a CA b AB c 则有

c a b

从而 |c|2 c c (a b)(a b) a a b b 2a b |a|2 |b|2 2|a||b|cos(a ^b)

即 c 2 a 2 b 2 2 a b cos

数量积的坐标表示

设a (ax ay az ) b (bx by bz ) 则

a·b axbx ayby azbz

提示 按数量积的运算规律可得

a·b ( ax i ay j az k)·(bx i by j bz k)

ax bx i·i ax by i·j ax bz i·k

ay bx j ·i ay by j ·j ay bz j·k

az bx k·i az by k·j az bz k·k

ax bx ay by az bz

两向量夹角的余弦的坐标表示

设 (a ^ b) 则当a 0、b 0时 有

cos a b |a||b|axbx ayby azbz

222222x ay azx by bz

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