ch 8空间解析几何与向量代数(21)

|M0M| R

即 x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R

或 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2

这就是球面上的点的坐标所满足的方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以

(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2

就是球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面的方程

特殊地 球心在原点O(0 0 0)、半径为R的球面的方程为

x2 y2 z2 R2

例2 设有点A(1 2 3)和B(2 1 4) 求线段AB的垂直平分面的方程

解 由题意知道 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹 设M(x y z)为所求平面上的任一点 则有

|AM| |BM|

即 x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 x 2)2 (y 1)2 (z 4)2

等式两边平方 然后化简得

2x 6y 2z 7 0

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程

研究曲面的两个基本问题

(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程

(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 例3 方程x2 y2 z2 2x 4y 0表示怎样的曲面？

解 通过配方 原方程可以改写成

(x 1)2 (y 2)2 z2 5

这是一个球面方程 球心在点M0(1 2 0)、半径为R

一般地 设有三元二次方程

Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0

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