ch 8空间解析几何与向量代数(19)

az bx k i az by k j az bz k k

由于i i j j k k 0 i j k j k i k i j 所以

a b ( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k

为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成

ijk a b axayaz aybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyi

bxbybz

( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k

例4 设a (2 1 1) b (1 1 2) 计算a b

ijk解 a b 21 2i j 2k k 4j i i 5j 3k 1 12

例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7) 求三角形ABC的面积

解 根据向量积的定义 可知三角形ABC的面积

11S ABC |AB||AC|sin A |AB AC| 22

由于AB (2 2 2) AC (1 2 4) 因此

ijk AB AC 222 4i 6j 2k 124

于是 S ABC 1|4i 6j 2k| 142 ( 6)2 22 22

例6 设刚体以等角速度 绕l 轴旋转 计算刚体上一点M的线速度

解 刚体绕l 轴旋转时 我们可以用在l 轴上的一个向量 表示角速度 它的大小等于角速度的大小 它的方向由右手规则定出 即以右手握住l 轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时 大姆指的指向就是 的方向

设点M到旋转轴l的距离为a 再在l轴上任取一点O作向量r OM 并以 表示 与r的夹角 那么

a |r| sin

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