一轮复习函数的奇偶性和周期性(2)

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f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；

3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：

（1）函数值之和等于零型，即函数f(a x) f(b x) 0(a b)

对于定义域中任意x满足f(a x) f(b x) 0(a b)，则有f[x (2b 2a)] f(x)，故函数f(x)的周期是T 2(b a)

（2）函数图象有x a，x b(a b)两条对称轴型

函数图象有x a，x b(a b)两条对称轴，即f(a x) f(a x)，

f(b x) f(b x)，从而得f[x (2b 2a)] f(x)，

故函数f(x)的周期是T 2(b a)

（3） 两个函数值之积等于 1，即函数值互为倒数或负倒数型

若f(x a) f(x b) 1(a b)，则得f(x 2a) f[(x 2a) (2b 2a)]，所以函数

f(x)的周期是T 2b 2a；同理若f(x a) f(x b) 1(a b)，则f(x)的周期是T 2(b a)

（4） 分式递推型，即函数f(x)满足f(x a)

1 f(x b)1 f(x b)

1f(x 2b)

(a b)

由f(x a)

1 f(x b)1 f(x b)

(a b)得f(x 2a) ，进而得

f(x 2a) f(x 2b) 1，由前面的结论得f(x)的周期是T 4(b a)

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