2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(平行班)上学期期中数学试题(解析版)(12)

第 12 页 共 21 页 于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________

【答案】2

【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()

2222240a a b a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.

【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，

将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=， 所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b

-+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-， 所以2

222

22b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+， 所以22222222(1)3b b a a b a b ??---= ?++??，化简得()()

2222240a a b a b +-+=， 又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ，

所以()1,0F -，所以2221a b c -==，

所以22a =或21a =（舍去），

所以a =

c e a =

=.

. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解.

17．点P 在椭圆22

1:143

x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为____________

【答案】6

第 13 页 共 21 页 【分析】记椭圆22

1:143x y C +=的左焦点为()1,0E -，由椭圆定义，得到24PE PF a +==，再由圆的方程，得到圆2C 的圆心为()

3,4-，半径为2r ，画出图形，结合图形，得到22466PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-，即可求出结果.

【详解】记椭圆22

1:143

x y C +=的左焦点为()1,0E -， 由椭圆的定义可得，24PE PF a +==，所以4PQ PF PQ PE -=+-， 由2268210x y x y ++-+=得()()22

344x y ++-=， 即圆2C 的圆心为()3,4-，半径为2r

，

作出图形如下：

由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，

()22224663146256

PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-=

-++=（当且仅当2,,,C Q P E 四点共线时，等号成立.）

故答案为：256.

【点睛】思路点睛： 求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.

四、解答题

18．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -

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