2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(平行班)上学期期中数学试题(解析版)(17)

第 18 页 共 21 页 【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）60.

【分析】（1）由线面垂直的性质及线面角的定义可得PAD ∠即为直线P A 与平面ABCD 所成的角，即可得解；

（2）由线面垂直的性质与判定可得BC DE ⊥，进而可得DE ⊥平面PBC 即ED PB ⊥，再由线面垂直的判定即可得证；

（3）由二面角的定义可得EFD ∠为二面角C PB D --的平面角，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1）因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，

所以AD 为直线PA 在平面ABCD 上的射影，PD AD ⊥，

故PAD ∠即为直线P A 与平面ABCD 所成的角，

又PD DC AD ==，所以45PAD ∠=，

所以直线P A 与平面ABCD 所成的角为45；

（2）证明：因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又BC DC ⊥，PD DC D ?=，所以BC ⊥平面PDC ，BC DE ⊥，

由PD DC =可得DE PC ⊥，

又BC PC C ?=，所以DE ⊥平面PBC ，ED PB ⊥，

因为PB EF ⊥，DE EF E =，

所以PB ⊥平面EFD ；

（3）由（2）知,EF PB DF PB ⊥⊥，所以EFD ∠为二面角C PB D --的平面角， 不妨设PD DC a ==

，则2

DE a =

，6EF =

，DF =， 在DEF 中，由余弦定理得2221cos 22

EF DF DE EFD EF DF +-∠==?， 所以二面角C PB D --的大小为60.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系的转化以及空间角的平面角的转化.

22．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A

，离心率为2

.

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（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点A 作圆()2

22:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；

（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2

212

x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析. 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值.

【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a

=??=????==???，所求椭圆的方程为2

212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=

法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +?++?=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +?++?=，即111x y +=同理设另一个切点

22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线

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